羽田野直道：研究概要

以下に具体的なテーマの概要を幾つか挙げます。

非エルミート量子力学と局在現象

通常の量子力学では非エルミートな演算子は現れませんが、ある種の物理系の数理モデルは非エルミートなハミルトニアンで記述されます。 例えば第二種超伝導体中の磁束線を記述するモデル、ランダム磁場中のディラック・フェルミオン、カイラル対称性の破れた量子色力学、生物系の進化のモデルなどが挙げられます。 しかし現実には非エルミート量子力学はほとんど研究されてきませんでした。 最近、私は非エルミート量子力学の一般論を展開し、ハミルトニアンの複素固有値や複素カレントなどの量の物理的意味を明らかにして注目を集めました。 そこで提案されたモデルはアンダーソン局在の研究やメゾスコピック系の共鳴伝導の研究に役立つことが明らかになりました。 例えば以下のような項目があります。

• アンダーソン局在の非エルミート模型による解析

  金属中の不純物を徐々に増やしていくと、ある濃度に達したところで絶縁体になります。 これは、水面の波が杭に散乱されて前へ進めなくなるのと同じように、電子波が不純物に散乱されて伝導できなくなるからです。 この現象を「アンダーソン局在」といいます。電子波が「局在」（空間的に広がっていけない状態のこと）するかどうかは、 不純物濃度と電子波のエネルギーに依ります。 また、局在している場合にも、どれくらい強く局在しているかを知る必要があります。

  これらのことを知るために、新しいモデル（一部で Hatano-Nelson モデルと呼ばれる）を提唱しました。 このモデルでは、不純物を含んだ金属のモデルに、本来物理的にはあり得ない「虚数ベクトルポテンシャル」を導入して、 ハミルトニアンを非エルミートにします。故意に非エルミートにしたハミルトニアンの複素固有値を調べると、 本来知りたかった電子の局在状態の様子を知ることができるのです。

  参考文献
  N. Hatano and D.R. Nelson, Phys. Rev. B 56 (1997) 8651--8673.
  N. Hatano and D.R. Nelson, Phys. Rev. B 56 (1997) 8651--8673.
  N. Hatano and D.R. Nelson, Phys. Rev. B 58 (1998) 8384--8390.
  N. Hatano, Physica A 254 (1998) 317--331.
  羽田野 直道，日本物理学会誌 53 (1998) 826--833.
  羽田野 直道，固体物理 34 (1999) 257--262.

• 量子力学的共鳴状態の定義と解析

  量子力学的共鳴状態は、多くの量子力学の教科書では「複素固有値を持っていると仮に理解すると便利である」という表現で現象論的に議論されています。しかし、実際には開いた量子系に対するシュレーディンガー方程式の固有状態として正確に定義することが可能です。その波動関数は（固有エネルギーの虚部のために）時間的に減衰しますが、（固有波数の虚部のために）空間的には遠方で発散するという形をしています。一見、不思議な波動関数ですが、それに対して粒子数保存を議論することもでき、数値的に正確に追跡することもできます。

  共鳴状態についての数理物理学的な理解は、まだこのような基礎的なレベルに留まっています。量子ドットにおける共鳴現象の解明と併せて、今後、大いに発展させようと考えています。

• 非エルミート行列の固有値分布計算

  アンダーソン局在や共鳴状態、非平衡モデルの研究のためには、非エルミート行列の固有値分布を知る必要があります。 統計物理的性質を知るためには、非常に大きな（１００万×１００万行列程度の） 非エルミート行列の固有値を計算しなければいけない場合があります。 ところが、現在は巨大な非エルミート行列の固有値分布を効率良く計算するアルゴリズムがありません。 そこで、物理を研究する道具としての数値計算アルゴリズムを開発中です。

  具体的には、共役傾斜法とランチョス法という２つの方法を組み合わせて、 非エルミート行列のグリーン関数のノルム（絶対値のようなもの）を、複素エネルギー平面上で計算します。 ３次元プロットによって固有値分布の構造を知ることができます。

スピン軌道相互作用の非可換ゲージ理論と完全スピンフィルター

２次元電子系で発生するスピン軌道相互作用は、電場で電子のスピンを操作したり、磁場で電流を発生させたりできる可能性が指摘されて、注目されています。我々は、量子細線でのスピン軌道相互作用に着目して研究を進めています。

新しい成果として、スピン軌道相互作用を非可換ゲージ場理論（Yang-Mills理論）で扱えることを指摘しました。その理解を基にして、完全スピンフィルターを構成することに成功しました。 完全スピンフィルターとは、量子細線を使った電子の干渉路で、一方からスピンが混合した電子群を入射しても、もう一方から下向きのスピンしか出てこないような回路です。我々は、どのような入射エネルギーでも完全であるスピンフィルターの構成に成功しました

参考文献
N. Hatano, R. Shirasaki and H. Nakamura, Phys. Rev. A 75 (2007) 032107.
N. Hatano, R. Shirasaki and H. Nakamura, Solid State Commun 141 (2007) 79--83.

環境科学におけるフラクタルな数理モデル

我々をとりまく自然環境には多くのフラクタルな現象があると言われています。 しかし環境科学の分野でフラクタル性を取り入れた自然現象の解析は多くはありません。 従来の多くの研究は単純な線形過程のみを取り入れて数値シミュレーションを行うため短期間で現実と合わずに破綻してしまい、環境変化の予測に役立つような研究はほとんどないのが実情なのです。

そこで我々は汚染物質の風による移動について初めて風速のフラクタル性を取り入れた異常拡散の数理モデルを提唱しました。 このモデルの解析解は 10 年という長期にわたるチェルノブイリでの放射性塵のデータや、北極海上空でのオゾンの測定データと見事な一致を示しました。 また土中の汚染物質の異常拡散についても岩石による吸着のフラクタル性を考慮した数理モデルを作り、実験データを非常によく再現しました。

これらの研究から、長期的また広域的な環境変化の予測には自然現象のフラクタル性を 考慮することが不可欠であると考えています。 そこでこのような効果をとりいれた基礎的な数理モデルを開発し、環境汚染や地球温暖化の予測などに貢献したいと思います。

参考文献
Y. Hatano and N. Hatano, Water Resources Research 34 (1998) 1027--1033.
Y. Hatano, N. Hatano, H. Amano, T. Ueno, A.K. Sukhoruchkin, and S.V. Kazakov, Atmospheric Environment 32 (1998) 2587--2594.
Y. Hatano and N. Hatano, Z. Geomorpho. N.F., Suupl.-Bd. 116 (1999) 45--58.