当研究室では物性理論、特に「物性基礎論」を中心に研究しています。我々人間のまわりを取り巻く現象には、多くの自由度がお互いに絡み合って起こるものが多々あります。そのような多自由度系を抽象化したモデルをつくり、統計力学、場の理論、計算機シミュレーションなどの手法を駆使して、現実に起こっている現象を理論的に再現してみせよう、というのが研究室の目標です。抽象化したモデルを扱うと、一見全く無関係のように見えた現象が実は共通の物理に根差していることがわかる場合がしばしばあり、それが物性基礎論の醍醐味と言えます。
現在は以下のようなテーマで研究を行っています。（過去の学位論文はこちら）
量子力学的共鳴状態は、多くの量子力学の教科書では「複素固有値を 持っていると仮に理解すると便利である」 という表現で現象論的に議論 されています。しかし、実際には開いた量子系に対するシュレーディンガー方程式の固有状態として 正確に定義することが可能です。その波動 関数は（固有エネルギーの虚部のために）時間的に減衰しますが、 （固 有波数の虚部のために）空間的には遠方で発散するという形をしていま す。一見、不思議な波動関数ですが、 それに対して粒子数保存を議論す ることもでき（図）、数値的に正確に追跡することもできます。 共鳴状態についての数理物理学的な理解は、まだこのような基礎的なレベルに留まっており、 量子ドットにおける共鳴現象の解明と併せて、今後、大 いに発展させようと考えています。
２次元電子系で発生するスピン軌道相互作用は、電場で電子のスピンを 操作したり、磁場で電流を発生させたりできる可能性が指摘されて、 注目されています。我々は、量子細線でのスピン軌道相互作用に着目して研究を進めています。新しい成果として、 スピン軌道相互作用を非可換 ゲージ場理論（Yang-Mills理論）で扱えることを指摘しました。 その理解を基にして、完全スピンフィルターを構成することに成功しました。 完全スピンフィルターとは、量子細線を使った電子の干渉路で、一方か らスピンが混合した電子群を入射しても、 もう一方から下向きのスピン しか出てこないような回路です。 我々は、どのような入射エネルギーでも完全であるスピンフィルターの構成に成功しました（図）。
金属中の不純物を徐々に増やしていくと、ある濃度に達したところで絶縁体になります。 これは、水面の波が杭に散乱されて前へ進めなくなるのと同じように、電子波が不純物に散乱されて伝導できなくなるからです。 この現象を「アンダーソン局在」といいます。電子波が「局在」（空間的に広がっていけない状態のこと）するかどうかは、 不純物濃度と電子波のエネルギーに依ります。 また、局在している場合にも、どれくらい強く局在しているかを知る必要があります。
これらのことを知るために、新しいモデル（一部で Hatano-Nelson モデルと呼ばれる）を提唱しました。 このモデルでは、不純物を含んだ金属のモデルに、本来物理的にはあり得ない「虚数ベクトルポテンシャル」を導入して、 ハミルトニアンを非エルミートにします。故意に非エルミートにしたハミルトニアンの複素固有値（下図）を調べると、 本来知りたかった電子の局在状態の様子を知ることができるのです。
参考文献
N. Hatano and D.R. Nelson: Phys. Rev. Lett. 77 (1996) 570
最近、フラクタルな構造を持った誘電体に電磁波を当てて吸収を見る実験が行われました。 それに対応する理論を作って、誘電体の中で電磁波がどのよう に振る舞うのかを調べました。 フラクタルな構造としては、簡単のために「カントール集合」を使います。 カントール集合とは、線分を３つに分割して中央を 取り去る、さらに、のこった部分をそれぞれ３つに分割して中央を取り去る、 という作業を繰り返してできるフラクタル構造で、フラクタル次元が0.63です。 ここに電磁波を入射すると、様々な大きさの空洞の中で電磁波が共鳴を起こします。 波長によっては、入射する電磁場の107倍もの強さの電磁場がカントール集合内に発生することがわかりました。
放射輸送方程式（Radiative Transport Equation）はボルツマン方程式の一種で、 チャンドラセカールによって導入されて以来 [1]、生物組織のトモグラフィーや 宇宙物理、地球物理（大気や海洋）、原子炉内の中性子の輸送現象など、 様々な分野で使われています。３次元の放射輸送方程式を解くことは難しく、 近似により拡散方程式に落とすことがしばしば行われます （吸収係数が小さく、かつソースから離れているときに良い近似にな る）。
我々は、３次元の放射輸送方程式と拡散方程式との関係について調べました [2]。 その結果、どんなにソースから離れていても二つの方程式から計算される エネルギー密度は完全には一致しないことを発見しました [3]。
伝統的に、拡散方程式を導くときにしばしば弾道項が導入されます [4]。 我々はさらに、この弾道項の導入が近似を悪くすることを示しました。 つまり、 正しい拡散近似は弾道項を導入することなくなされるべきであることがわかりました。
図は、ペンシルバニア大学医学部で2007年に実現された、 拡散方程式による光トモグラフィーの概念図（http://www.mmrrcc.upenn.edu/）。
[1] S. Chandrasekhar, Radiative Transfer(Dover, New York, 1960)
[2] M. M., V. A. Markel, and J. C. Schotland, in preparation
[3] これは、例えば相対論とニュートン力学とがパラメータ βによって連続的につながっていることとは決定的に異なります。
[4] A. Ishimaru, Wave Propagation and Scattering in Random Media(Academic Press, San Diego, 1978)
周期ポテンシャル下の2次元電子系の量子ホール効果を考えます。 量子力学の非断熱効果を考慮することにより、伝導度が非常に短い時間スケール（ピコ秒ないしナノ秒）で時間変動していることを見出しました。
【図１】にあるように、z軸方向に磁場のかかった半導体中の超格子構造を考えます。
y軸方向の電場に対してx軸方向の電流を考えると、
このx軸方向の伝導度がe2/hの整数倍になることが知られています（整数量子ホール効果）。
従来、伝導度は理論的には断熱近似を用いて計算されていました。
これに非断熱の効果を考慮することにより、伝導度がピコ秒からナノ秒のオーダーで量子ゆらぎによって時間変動していることがわかりました。
式の上では、振動の周期はフェルミエネルギーの上下にある2準位間のギャップに反比例します。
【図２】(右) は、【図１】の系における伝導度の時間依存性を、数値計算によって実際に求めたものです。
【図２】(左) は系のバンド構造です。緑の線はフェルミエネルギーを示しています。
【図１】
【図２】
参考文献
M. Machida, N. Hatano, and J. Goryo: J. Phys. Soc. Jpn. 75(2006) 063704.
久保公式は今から半世紀ほど前に確立した理論であり、スピン系や電子系の物性物理で頻繁に使われています。 ところが実際に久保公式から応答を計算しようと思うと、通常、系のサイズが大きくなるにつれて計算は困難になります。
我々は、巨大ハミルトニアンを持つ量子多体系の久保公式を、任意の温度で数値的厳密に計算できるアルゴリズムを構築しました。 このアルゴリズムは、指数演算子のChebyshev多項式展開と、ランダムベクトルによる対角和の計算を利用して、 計算速度・メモリー使用量ともにO(N)の計算を実現しています。
このアルゴリズムはスピン系にも電子系にも適用できますが、ここではスピン系を例にとります。 電子スピン共鳴(ESR)は、静磁場中においたスピン系に振動磁場をかけてエネルギー吸収を測る実験手法ですが、 理論的には久保公式で計算されます。 下図は、V15と呼ばれるナノスケール分子磁性体(ナノ磁石)のESR吸収強度の温度依存性を、 高温から低温にわたって計算した結果です。実験で見られている、200Kあたりでの特異な振舞いが見事に再現されています。 ナノ磁石は、十数個から数十個のスピンからなるナノメートルサイズの磁性体で、 量子コンピュータなどの量子デバイスの素子としても注目されています。
参考文献
M. Machida, T. Iitaka, and S. Miyashita:
J. Phys. Soc. Jpn. Suppl. 74 (2005) 107
複雑に運動をする量子系を考える。単純な量子系ならば Schroedinger方程式 を直接解くことができるだろう。 また、粒子数が無限とみなせるほど大きな場合には自由度の多さを逆手にとって熱力学による記述ができる。 我々は中途半端な自由度の量子系の外場に対する応答に興味を持っている。 このような量子系は、量子ドットやナノ磁石として近年実験的にも作成されるようになった。 例えばナノスケールの小さな領域に電子をいくつか閉じ込めてその境界を外から振動させてみよう。 内部の電子のエネルギーは古典的にはどんどん上昇するが、今の場合はエネルギーはある値まで上昇すると飽和してしまうことがわかる。 我々はランダム行列を用いてこのような系のダイナミクスを調べ、飽和エネルギーと境界の振動数の関係を求めた。 つまり、境界の振動のさせ方によって電子が吸収できるエネルギーが変化する。
参考文献
M. Machida, K. Saito, and S. Miyashita: J. Phys. Soc. Jpn. 71 (2002) 2427
量子多体系において相互作用、異方性などのパラメータを変化させたときに観察されるエネルギー準位の交差現象を、 その系の対称性を用いて理解することが目的です。
量子系のエネルギー縮退はその系の対称性を示唆していることがあります。 例えば水素原子模型のスペクトルは回転対称性によるエネルギー縮退を持つことが有名です。 この回転対称性を記述する角運動量演算子はリー代数sl(2)を生成するため「水素原子模型はsl(2)対称性を持つ」というような言い方をされます。 実際、スペクトルの縮退度はsl(2)の対応する(有限次元)既約表現の次元で与えられます。
近年、ハイゼンベルグスピン鎖に代表されるベーテ仮説法で扱われる一次元量子スピン鎖において、 異方性パラメータの特殊値でエネルギー準位が交差する現象が報告されています。 これはそのパラメータの特殊値において、系がより高い対称性を獲得していることを示唆しています。 実際、その準位交差のいくつかは「系がsl(2)ループ代数という無限次元リー代数の対称性を持つ」ことで理解されます。 sl(2)ループ代数の表現論を用いれば水素原子の場合と同様にスペクトルの縮退度を計算することも可能になります。
参考文献
A. Nishino and T. Deguchi, Phys. Lett. A 356 (2006) 366.
量子ドットに導線を接触させた開放量子系の散乱状態を構成し、 量子ドットに流れる電流の量子力学的期待値に現れる共鳴現象について研究しました。
開放量子系とは系の試料部分につながる導線などの効果により、電子の出入りが可能な量子系です。 本研究では量子ドットに２本の導線を接触させた(スピン自由度のない)電子系(左下図)を扱いました。 重要なのは量子ドットにいる電子が導線上の電子とクーロン反発することです。
この系にの多体の散乱状態をベーテ仮説法で構成しました。 ベーテ仮説法は、従来、閉じた量子系の固有状態の構成に用いられてきましたが、ここでは開放量子系の散乱状態の構成に適用しました。 得られた散乱状態を用いて、ドットに流れる電流の量子力学的期待値を解析的に計算しました。
右下図は３粒子場合に、電流期待値をゲート電圧の関数として見たものです(右向きカレントをグラフの正としました)。 相互作用がない場合(U=0)は左からの入射粒子の波数k1, k2に対応した共鳴が正の側に、 右からの入射粒子の波数k3に対応した共鳴が負の側に現れます。 これらは従来のローレンツ型の共鳴です。 相互作用Uを強くすると電流期待値はローレンツ型から変化し、新たな電流期待値の共鳴が現れました(右下図青矢印)。 これらは相互作用を入れることで初めて現れる共鳴ですので、多体効果を反映していると結論できます。
参考文献
A. Nishino and N. Hatano, J. Phys. Soc. Jpn. 76 (2007) 063002.
非対称単純排他過程(Asymmetric Simple Exclusion Process, ASEP)とは、 確率的な時間発展をする古典的な粒子系であり、ルールは以下の2つからなる。(図１) 1.各粒子は左隣へレートpで右隣へレートqでホップする。(非対称な拡散の効果) 2.ただし隣のサイトが他の粒子によって占有されている場合は粒子はホップできないとする。 (排他効果を介した粒子間相互作用の効果)
この拡散と相互作用の効果が競合して、ASEPは非平衡定常状態における相転移やキンクの存在など興味深い物理現象を引き起こす。 さらに、この模型は可積分な数理構造を持ち、これらの現象を厳密に解析することが出来る。
我々は、図2のような階段型の初期条件で、かつ粒子が右にしか行かない場合(図1でp=0の場合)に、 ある一つ粒子(図2では赤い粒子)に着目してそれがどのように時間発展するか、特にその長時間での振る舞いを考察した。 もし上のルール2がなければ粒子は長時間極限において単純なブラウン運動する。 一方ASEPの場合は粒子間相互作用によって、この粒子の運動は単純なブラウン運動ではなく、 エルミートランダム行列の最大固有値の運動と等しいことを明らかにした。
開放量子系は、粒子の出入りがあるような量子系である。 近年、メゾスコピック系においてこのようなデバイスが実現され、理論実験両面で大きく発展している。 具体的には、真ん中に散乱体があり、左右にリードがある系を考える。 粒子がリードから散乱体へ入射したときにどのように散乱されるかという問題を考える。
散乱体が、相互作用のないハミルトニアンで記述される場合、さまざま手法によってコンダクタンス等の物理量の解析が行われている。 代表的な手法として、非エルミートハミルトニアンの方法がある。 これは左右のリードの効果（粒子が散乱体リードへ出て、再び散乱体へ戻ってくるという自己エネルギーの効果）を、 散乱体の両端における複素ポテンシャルとして取り入れるというのものである。 この手法の利点は、ハミルトニアンが、リードを含めた無限次元のものから、 複素ポテンシャルを端に持つ有限次元のものになることである。 これによって、例えばメゾスコピック系の共鳴状態の解析などを容易に行うことができる。
一方散乱体が、相互作用のあるハミルトニアンで記述される場合も重要である。 特に興味を持っているのは、量子情報科学への応用である。量子計算機、量子通信の発展のためには、 量子状態のダイナミクスを知り、それを制御することが不可欠である。 つまり、散乱体中の量子状態を、 入射粒子によって、どのように制御するか等が大きな問題であり、 それを解析するためには相互作用する量子系の散乱問題を解析する一般的な枠組みが必要になってくる。 本研究の目標はこの枠組みを与えることである。 特に、相互作用のない系で大きな成功を収めた非エルミートハミルトニアンの方法の相互作用系への拡張に興味がある。
ページの先頭へランダム行列理論は行列要素が乱数の行列のことであり、 量子カオスの準位統計やメゾスコピック系の輸送現象等物理学の様々な分野で応用されている。 最近ランダム行列理論と非平衡統計物理学との新たなつながりが見出され注目されている。 非平衡統計物理学の重要な普遍クラスである、一次元Kardar-Parisi-Zhang（KPZ）クラスに属する様々な確率モデルにおいて、 物理量のゆらぎの分布関数が厳密に解析され、ランダム行列理論の最大固有値分布(Tracy-Widom分布)と等しいことが明らかにされたのである。
その代表的な確率モデルとして、一次元多核成長模型がある。 そのルールは【図１】で示されている。 時刻t=0で高さ１の核が生成する（【図１】(i)）。 核は時間とともに一定速度で左右に成長し1層目を形成する。 その後1層目の上に核が確率的に生成し、 これらの核も一旦生成すると左右に一定速度で成長し2層目以降を形成する（【図１】(ii)）。 左右への核の成長によって、２つの核が衝突する場合があるがその時は合体して一つの層を形成する（【図１】(iii)の2層目）。
我々はこの多核成長模型の高さゆらぎの解析を行っている。 【図２】のように、半無限系において、高さゆらぎの分布関数は原点からバルクに遠ざかるにつれて GSE(Gaussian Symplectic Ensemble)から GUE(Gaussian Unitary Ensemble)のTracy-Widom分布へ遷移することが分かった。
【図１】
【図２】
極低温における熱輸送現象について研究しています。
磁場をz方向に熱流をx方向にかけたとき、互いに垂直な y方向に熱流が流れる現象をネルンスト効果(Nernst-Ettingshausen effect,)といいます。
2005年、中村、羽田野、白崎らによって、二次元電子系における熱輸送係数の量子化（量子ネルンスト効果）が理論的に予測されました。
これは、極低温では、キャリアの運動はバリス ティックな伝導となり、エネルギーはランダウレベルに分かれ、 離散的なエネルギー状態を形成しています。
そこで、量子ホール 効果とのアナロジーを考え、端電流モデルを仮定することにより、量子性が実現されるという理論予測です。
一方、2007年、Behniaら(フランス) のグループにより、三次元ビスマス単結晶において量子ネルンスト効果と思われる現象が観測されました。
これを受けて、我々は、二次元電子系での理論予測と、３次元ビスマス単結晶での振る舞いが同様であった理由を解明し、また、固体の性質が熱輸送現象にどのように寄与するか、研究を行っています。
パーコレーションとは注目する要素間に生じる“つながり”に注目した分野です。 この分野の主な興味は、“つながり”がいつ、どのように生じるかです。
これまでに、３次元連続空間に回転楕円体をランダムに分散させた系でのパーコレーションを扱いました。 この系においてパーコレーション転移点fcの回転楕円体の形状に対する依存性をシミュレーションから求めました。 またシミュレーションから得られた転移点fcの振る舞いが、回転楕円体の形状を考慮した領域における局所的な密度を考えることで理解できることが分かりました。
参考文献
S.Akagawa and T.Odagaki, Phys. Rev. E 76 (2007) 051402
光格子中の希薄なBose気体の基底状態における超流動-Mott絶縁体相転移はBose-Hubbard modelを用いて記述できることがわかっています。 光格子とは同軸上で向かい合わせにレーザーを照射させたときにできる周期的な定在波のことで、Bose粒子のトラップとして用いることができます。 レーザーの強度を制御することにより このトラップの深さを変化させることができ、これによって相転移が起きます。 また、近年では２種類のBose粒子を混合させたBose-Bose混合系における超流動-Mott絶縁体相転移も理論実験両面から研究されています。 本研究では外部トラップポテンシャルがない一様系、調和ポテンシャルを外部トラップポテンシャルとして加えた非一様系で、 Gutzwiller近似という方法で超流動オーダーパラメーターという秩序変数を計算することによって超流動-Mott絶縁体相転移の相図(既知)を再現し(下図)、 Bose-Bose混合系の一様系においても同じ方法を用いてこの相転移の相図を計算しました。
1995年にアルカリ原子を用いたBose-Einstein凝縮が実現されて以来、 極低温における中性原子系の研究は急速な発展を遂げています。 我々は、光格子と呼ばれる、レーザーの干渉を用いて作った周期ポテンシャル中に Bose-Einstein凝縮体を閉じ込めた時に起こる物理現象に興味 を持って研究を行っています。 Bose-Einstein凝縮体の振る舞いは、Gross-Petaevskii方程式と呼ばれる非線形 Shrodinger方程式によって記述されますが、 Bose-Einstein凝縮体が光格子中において、周期ポテンシャルと非線形性に起因する興味 深い性質を示すことが理論、 実験の両面でわかってきました。最近、我々はBose-Einstein凝縮体を光格子中で加速し、 凝縮体が異なるエネルギーバンド間をトンネルする際の非線形性の効果（下図）について研究を行っています。
近年、統計力学の観点から、経済・金融現象を研究する動きが国内外で盛んになってきている。 この背景には以下のような期待がある。統計物理では、個々の要素（原子や分子など）の性質がわかっていても、 それらが多数集まって系（磁石や細胞など）をなすと、個々の性質からは直接想像できない新たな現象や機能が発現する。 この統計物理における最も興味深い部分が、そのまま経済・金融現象にもあてはまるのではないかという期待である。
例えば、個々の投資家が利益を追求するという行動の特性がわかっていても、 その結果として発現する株価や為替の変動にベキ的なゆらぎが現れる現象を、単純には説明することができない。 しかし、統計力学的な観点から、ミクロな要素間（ここでは投資家間）の相互作用を規定したモデルを構築することにより、 価格変動や所得分布のベキ的な振舞を再現できることがわかってきた。 つまり、ミクロとマクロをつなぐ統計力学の手法が、金融・経済現象の理解に大いに役立つと期待されるのである。
我々は、特に複数の為替相場のゆらぎと相互作用に着目して研究をおこなっている。 円ドル、ドルユーロ、円ユーロレートをそれぞれ一次元ランダムウォーカーとしてとらえると、 それらの重心に復元力が働いているという理解ができることなどが わかってきている。（下図）
参考文献
Y. Aiba, N. Hatano, H. Takayasu, et al: Physica A310 (2002) 467
ナノスケール・デバイスのコンダクタンスは、共鳴状態によって大きく支配されています。 共鳴状態は開放系特有の状態であり、一般に複素固有値を持つことが知られています。 この共鳴状態を算出し、ナノ領域の電子伝導を解析することが我々の研究の目的です。
特に、２つの離散状態の間の干渉がコンダクタンスのピークの対称性を決定していることを指摘します。 非対称なコンダクタンスピークはFano共鳴と呼ばれ、1961年にU. Fanoによって研究されました [1]。 Fanoは、連続状態と離散状態の混合が、量子干渉効果によってピークの非対称性を生むと主張していました。 しかし、我々は共鳴状態を使ってグリーン関数を固有値分解することで、 Fanoピークの非対称性が離散状態の干渉項によって決定されていると主張します[2]。
ナノ領域の電気伝導は開放量子系で記述できますが、この開放量子系の理論は伝導現象を詳しく記述できるほど発達していません。 そこで、我々はこの開放性を決定している導線の効果を複素数の自己エネルギーとして表現します[3]。 すると、非エルミート性のあるハミルトニアンによって開放系を扱うことができます。 そして算出した共鳴状態を用いて、遅延グリーン関数を固有値分解することができます。 コンダクタンスは、およそグリーン関数の絶対値の２乗であり、このとき干渉項が現れます。 干渉項がコンダクタンスのピークに非対称性を生じさせることを示すことができます。 つまり、Fano共鳴は離散状態の間の結合によって生じると言えます。
例として、単純なABリング【図１】を考えます。この系の固有状態を複素エネルギー平面上に図示しました。 導線とドットの間のホッピングエネルギーを摂動として増加させたときの共鳴固有値の流れを示しています。 t1=0の時、サイト0に局在する状態は実数エネルギーを持つ固有状態ですが、ホッピングエネルギーを増加させると、 固有値が複素数平面に移動して共鳴状態となります。このとき、コンダクタンスは【図２】に見られるように、 他の束縛状態との干渉項が生じることでFanoコンダクタンスを形成します。このような観点からFano共鳴は特異な量子干渉効果ではなく、 一般的な伝導現象の一例であると言えます。現在、この非エルミート性のあるハミルトニアンから、 存知の様々な伝導現象を解析することまたは未知の現象を予想することを研究しています。
参考文献
[1] U. Fano, Phys. Rev. 124 (1961) 1866.
[2] K. Sasada, N. Hatano, Physica E 29 (2005) 609.
[3] S. Datta, Electronic Transport in Mesoscopic Systems, Cambridge University Press, Cambridge, 1995
ハミルトニアンの運動量演算子に複素ベクトルポテンシャルを付加した、非エルミートなハミルトニアンを導入します。
その非エルミートなハミルトニアンのエネルギー固有値の構造から、エルミート模型の相関長が算出できることを、
いくつかの強相関量子系で見い出しました。例えば，ハーフフィルドのハバード模型を非エルミート化すると，
モット絶縁体（下図を参照）の相関長が求まります。
この非エルミート化の操作は，複素運動量空間内をスキャンする操作に対応します。
通常のエルミート模型の解析では、運動量空間の実軸上での情報しか得られませんが、
我々の非エルミート化により複素運動量空間内に侵入することができます。
我々の研究を通じ，複素運動量空間内には、エルミート模型の相関長の情報が含まれていることが分かってきました。
参考文献
Y. Nakamura and N. Hatano, Physica B 378-380 (2006) 292; J. Phys. Soc. Jpn. 75 (2006) 104001.
エンタングルメントと相転移について軽く触れておきたい。
Entanglement(もつれ [1])とは、系Ａに対して行ったことが、空間的に離れた系Ｂに影響を与える性質である。
この、もつれ具合を測ることは、系Ａと系Ｂの相関の度合いを測っているものとみなすことができると思われる。
相転移現象を特徴づけるものとして、転移点で相関長が発散することをあげることができる。
そこで、エンタングルメントの度合いを見ることで、相転移を予測できるのではないかという期待がある。
逆に、具体的モデルに対してエンタングルメントの振る舞いを見ることで、
まだ十分に分かっていないエンタングルメントの性質を理解したいと考えている。
近年、エンタングルメントが、量子計算、量子情報理論などの分野に応用されている。
物性理論を通じて理解したエンタングルメントの性質が、情報科学の分野に刺激を与える可能性を秘めている。
その意味で本研究は魅力あるものである。
（下図は、２サイト反強磁性ハイゼンベルグ模型のエンタングルメントの度合を表している。）
参考文献
[1] ジーニアス大英和辞典
[2] Nielsen, quant-ph/0011036